Question

已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且頂點(diǎn)P（0，b）滿足．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)拋物線x²=12y焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)λ的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（），知橢圓的焦點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（），由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，聯(lián)立方程組，得（4+9k²）x²+54kx+45=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知，，由此能求出實(shí)數(shù)λ的范圍．
解答：解：（1）∵雙曲線的焦點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（），
∴橢圓的焦點(diǎn)F₁（-，0），F(xiàn)₂（），
∴a²-b²=5．
∵橢圓的頂點(diǎn)P（0，b）滿足，
∴，
解得a²=9，
∴b²=4，
故橢圓的方程為：．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，
聯(lián)立方程組，
得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，
∴，①
，②
由①得，③
③÷②，得，
∴，
整理，得5λ²-26λ+5≤0，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．