（1）如圖，設(shè)圓O：x2+y2=a2的兩條互相垂直的直徑為AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值
（2）將橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與x2+y2=a2相類比，請(qǐng)寫出與（1）類似的命題，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖，若AB、CD是過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中心的兩條直線，且直線AB、CD的斜率積kAB•kCD=-
b2
a2
，點(diǎn)E是橢圓上異于A、C的任意一點(diǎn)，AE交直線CD于K，CE交直線AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值．
分析：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)．由于CD⊥AB，可得EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，再利用EF2+FO2=OE2=a2，即可證明為定值．
（2）命題：如圖，設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），橢圓的長軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值．與（1）類比：再利用點(diǎn)E滿足橢圓的方程即可證明為定值．
（3）如圖所示，過點(diǎn)E分別作EF∥CD交AB與點(diǎn)F，EM∥AB交直線CD于點(diǎn)M．
可得
EK
KA
=
FO
AO
，
EL
CL
=
MO
CO
．設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
則
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．設(shè)直線AB的方程為y=kx（k≠0），則直線CD的方程為y=-
b2
a2k
x．直線EF的方程為y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)，直線EM的方程為y-y0=k（x-x0）．
聯(lián)立方程可解得xF．xM．
x
2
1
，
x
2
2
．可得(
EK
AK
)2=(
FO
AO
)2=
x
2
F
+
y
2
F
x12+
y
2
1
=
x
2
F
x
2
1
．同理(
EL
CL
)2=
x
2
M
x
2
2
．
于是(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=
x
2
F
x
2
1
+
x
2
M
x
2
2
=
x
2
F
x
2
2
+
x
2
M
x
2
1
x
2
1
x
2
2
，代入計(jì)算即可．
解答：解：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，
又EF2+FO2=OE2=a2，
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=(
FO
OA
)2+(
EF
CO
)2=
FO2+EF2
a2
=
a2
a2
=1．為定值．
（2）如圖，設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），橢圓的長軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值．
證明：過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=(
FO
OA
)2+(
EF
CO
)2=
FO2
a2
+
EF2
b2
=1．為定值．
（3）如圖所示，
過點(diǎn)E分別作EF∥CD交AB與點(diǎn)F，EM∥AB交直線CD于點(diǎn)M．
∴
EK
KA
=
FO
AO
，
EL
CL
=
MO
CO
．
設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
則
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．
設(shè)直線AB的方程為y=kx（k≠0），則直線CD的方程為y=-
b2
a2k
x．
直線EF的方程為y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)，直線EM的方程為y-y0=k（x-x0）．
聯(lián)立
y=kx
y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)
解得xF=
a2ky0+b2x0
a2k2+b2
．
聯(lián)立
y=-
b2
a2k
x
y-y0=k(x-x0)
，解得xM=
a2k(kx0-y0)
a2k2+b2
．
聯(lián)立
y=kx
b2x2+a2y2=a2b2
解得
x
2
1
=
a2b2
a2k2+b2
．
聯(lián)立
y=-
b2
a2k
x
b2x2+a2y2=a2b2
，解得
x
2
2
=
a4k2
a2k2+b2
．
∴(
EK
AK
)2=(
FO
AO
)2=
x
2
F
+
y
2
F
x12+
y
2
1
=
x
2
F
x
2
1
．
同理(
EL
CL
)2=
x
2
M
x
2
2
．
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=
x
2
F
x
2
1
+
x
2
M
x
2
2
=
x
2
F
x
2
2
+
x
2
M
x
2
1
x
2
1
x
2
2
=
(
a2ky0+b2x0
a2k2+b2
)2•
a4k2
a2k2+b2
+(
a2k(kx0-y0)
a2k2+b2
)2•
a2b2
a2k2+ b2
a2b2
a2k2+b2
•
a4k2
a2k2+b2
=
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．為定值．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線與直線相交問題、直線與橢圓相交問題、問題轉(zhuǎn)化方法等是解題的關(guān)鍵．本題同時(shí)考查了較強(qiáng)的計(jì)算能力、類比推理能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，設(shè)圓（x-5）2+y2=16的圓心為C，此圓和拋物線y2=px（p＞0）有四個(gè)交點(diǎn)，若在x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，
px1
），B（x2，
px2
）（x1＜x2），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，△AOB的面積為S．
（1）求p的取值范圍；
（2）求S關(guān)于p的函數(shù)f（p）的表達(dá)式及S的最大值；
（3）求當(dāng)S取最大值時(shí)，向量
CA
與
CB
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•韶關(guān)二模）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c=2，且
cosA
cosB
=
b
a
=
3
1
．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設(shè)圓O過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧
AC
上，求△PAC面積最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c=2，且數(shù)學(xué)公式．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設(shè)圓O過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧數(shù)學(xué)公式上，求△PAC面積最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年廣東省韶關(guān)市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c=2，且．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設(shè)圓O過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧上，求△PAC面積最大值．

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