Question

如圖平面SAC⊥平面ACB，△SAC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，BC=4

2

，求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：過(guò)S點(diǎn)作SD⊥AC于D，過(guò)D作DM⊥AB于M，連接SM，則∠DMS為二面角S-AB-C的平面角，求出DM，SM，即可得出結(jié)論．

解答：解：過(guò)S點(diǎn)作SD⊥AC于D，過(guò)D作DM⊥AB于M，連接SM，則
∵平面SAC⊥平面ACB
∴SD⊥平面ACB
∴SM⊥AB
又∵DM⊥AB
∴∠DMS為二面角S-AB-C的平面角
在△SAC中SD=4×

3

2

=2

3

在△ACB中過(guò)C作CH⊥AB于H
∵AC=4，BC=4

2

∴AB=4

3

∵S=

1

2

AB•CH=

1

2

AC•BC
∴CH=

AC•BC

AB

=

4•4 2

4 3

=

4 2

3

∵DM∥CH且AD=DC
∴DM=

1

2

CH=

2 2

3

∵SD⊥平面ACB，DM?平面ACB
∴SD⊥DM
在RT△SDM中，SM=

SD2+DM2

=

(2 3 )2+( 2 2 3 )2

=2

11 3

，
∴cos∠DNS=

DM

SM

=

22

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．