Question

如圖，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖中，主視圖和左視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，已知點M式A₁B₁的中點．
（I）求證B1C∥平面AC₁M；
（Ⅱ）設AC與平面AC₁M的夾角為θ，求sinθ．

Answer 1

分析：由題可知，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖中，主視圖和左視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，要證B1C∥平面AC₁M，利用線線平行，要求sinθ利用平面法向量，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，
側棱長為2，底面為等腰直角三角形，AC=BC=1如圖建立空間直角坐標系C-xyz，
則C（0，0，0），C₁（0，0，2），A（1，0，0），B₁（0，1，2），
A₁（1，0，2），∵M為A₁B₁為中點，∴M(

1

2

，

1

2

，2)

CE1

=(0，1，2)， 

AM

=(-

1

2

，

1

2

，2)， 

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)
∴

CB1

=

AM

+

C1M

∴

CB1

∥面AC₁M，又因為CB₁?面AC₁M
∴CB₁∥面AC₁M
（Ⅱ）設平面AC₁M的一個法向量為

m

=(x，y，z)

m • C1M =(x，y，z)•( 1 2 1 2 ，0)= 1 2 x+ 1 2 y=0 m • AM =(x，y，z)•(- 1 2 1 2 ，2)=- 1 2 x+ 1 2 y+2z=0

，

令z=1，則x=2，y=-2，∴

m

=(2，-2，1)
又

AC

=(-1，0，0)
則sinB-|cos＜

m

，

AC

＞|=|

m • AC

| m | •| AC |

|=

2

3

點評：本題考查學生的空間想象能力，以及對空間直角坐標系的使用，是中檔題．