Question

 

    已知函數(shù).

   （Ⅰ）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

   （Ⅱ）設(shè)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（I）原函數(shù)的定義域為

所以，當(dāng)所以

此時函數(shù)上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；

所以此時函數(shù)是減函數(shù)；

當(dāng)

解得（舍去），此時函數(shù)上是增函數(shù)；

在（0，1）上是減函數(shù)；

此時函數(shù)

上是減函數(shù)；

   

   （Ⅱ）當(dāng)時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，

有，又已知存在，使，

所以，，

即存在，使，

即，即，

所以，解得，即實數(shù)取值范圍是。

   【命題意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。

   （1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。