Question

如圖所示,在三棱錐P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2,M為AB的中點,四點P、A、M、C都在球O的球面上.

(1)證明平面PAB⊥平面PCM;

(2)證明線段PC的中點為球O的球心;

(3)若球O的表面積為20π,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明:∵AC=BC,M為AB的中點,

∴CM⊥AB.

∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,

∴PA⊥CM

∵AB∩PA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,

∴CM⊥平面PAB.

∵CM平面PCM,

∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)證明:由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM平面PAB,

∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,

∴PA⊥AC.

取PC的中點N,連結MN、AN.

在Rt△PAC中,點N為斜邊PC的中點,

∴AN=PN=NC.

在Rt△PMC中,點N為斜邊PC的中點,

∴MN=PN=NC.

∴PN=NC=AN=MN.

∴點N是球O的球心,即線段PC的中點為球O的球心.

(3)解法一:依題意得4π·NC²=20π,解得NC=.

∴PC=2,PA==4.

作MD⊥PB,垂足為D,連結CD.

由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PB平面PAB,∴PB⊥CM.

∵MD∩MC=M,∴PB⊥平面CMD.

∵CD平面CMD,∴CD⊥PB.

∴∠CDM是二面角APBC的平面角.

在Rt△PAB和Rt△MDB中,PB===2,=.∴MD=.

在Rt△CMD中,CD==,

cos∠CDM==.

∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值是.

解法二:依題意得4π·NC²=20π,解得NC=.

∴PC=2,PA==4.

如圖,建立空間直角坐標系A—xyz,

則A(0,0,0),M(,,0),C(0,2,0),B(,1,0),P(0,0,4).∴=(,,0),

=(3,-1,0),=(0,-2,4).

由(1)知是平面PAB的一個法向量.

設平面PBC的法向量n的坐標為(x,y,z),

由得

令x=2,得y=2,z=.

∴平面PBC的一個法向量為n=(2,2,).

∴cos〈n,〉=

=

=.

∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值是.