Question

已知定點O（0，0），A（3，0），動點P到定點O距離與到定點A的距離的比值是

1

λ

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（Ⅱ）當λ=4時，記動點P的軌跡為曲線D．
①若M是圓E：（x-2）²+（y-4）²=64上任意一點，過M作曲線D的切線，切點是N，求|MN|的取值范圍；
②已知F，G是曲線D上不同的兩點，對于定點Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．試問無論F，G兩點的位置怎樣，直線FG能恒和一個定圓相切嗎？若能，求出這個定圓的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動點坐標，利用動點P到定點O距離與到定點A的距離的比值是

1

λ

，建立方程，化簡即可得到動點P的軌跡方程，從而可得方程表示的曲線；
（Ⅱ）當λ=4時，確定動點P的軌跡方程．
①確定兩圓內(nèi)含，且圓D在圓E內(nèi)部．由|MN|²=|MD|²-|DN|²有：|MN|²=|MD|²-4，故求|MN|的取值范圍就是求|MD|的取值范圍；
②解法一：設(shè)點Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，由面積相等得到頂點Q到動直線FG的距離為定值，從而可得結(jié)論；
解法二：假設(shè)存在，設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于半徑，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點P的坐標為（x，y），則由

λ

|PO|=|PA|，得λ（x²+y²）=（x-3）²+y²，
整理得：（λ-1）x²+（λ-1）y²+6x-9=0．
∵λ＞0，∴當λ=1時，則方程可化為：2x-3=0，故方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；
當λ≠1時，則方程可化為(x+

3

λ-1

)2+y2=[

3 λ

(λ-1)

]2，即方程表示的曲線是以(-

3

λ-1

，0)為圓心，

3 λ

|λ-1|

為半徑的圓．…5分
（Ⅱ）當λ=4時，曲線D的方程是x²+y²+2x-3=0，故曲線D表示圓，圓心是D（-1，0），半徑是2．
①由|DE|=

(2+1)2+(4-0)2

=5，及5＜8-2有：兩圓內(nèi)含，且圓D在圓E內(nèi)部．
如圖所示，由|MN|²=|MD|²-|DN|²有：|MN|²=|MD|²-4，故求|MN|的取值范圍就是求|MD|的取值范圍．
而D是定點，M是圓上的動點，故過D作圓E的直徑，得|MD|_min=8-5=3，|MD|_max=8+5=13，故5≤|MN|²≤165，

5

≤|MN|≤

165

．…9分
②解法一：設(shè)點Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，
則由面積相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2．
即d=

4sinθ

|FG|

=

4sinθ

2rsinθ

=1．于是頂點Q到動直線FG的距離為定值，
即動直線FG與定圓（x+3）²+y²=1相切．
②解法二：設(shè)F，G兩點的坐標分別為F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
則由|QF|•|QG|=4有：

(x1+3)2+ y 2 1

•

(x2+3)2+ y 2 2

=4，結(jié)合

x

2 1

+

y

2 1

+2x1-3=0，

x

2 2

+

y

2 2

+2x2-3=0有：

4x1+12

•

4x2+12

=4⇒x1x2+3(x 1+x2)+8=0，
若經(jīng)過F、G兩點的直線的斜率存在，設(shè)直線FG的方程為y=mx+n，
由

y=mx+n x2+y2+2x-3=0

，消去y有：（1+m²）x²+（2mn+2）x+n²-3=0，則x1+x2=-

2mn+2

1+m2

，x1x2=

n2

1+m2

=1，
所以x1x2+3(x 1+x2)+8=

n2-3

1+m2

+

-6mn-6

1+m2

+

1+8m2

1+m2

=0，
由此可得8m²-6mn+n²=1，也即（3m-n）²=1+m²，

|3m-n|

1+m2

=1…（※）．
假設(shè)存在定圓（x-a）²+（y-b）²=r²，總與直線FG相切，則
d=

|ma-b+n|

1+m2

是定值r，即d與m，n無關(guān)，與

|3m-n|

1+m2

=1…（※）對比，有

a=-3 b=0

，
此時d=r=

|3m-n|

1+m2

=1，故存在定圓（x+3）²+y²=1，
當直線FG的斜率不存在時，x₁=x₂=-2，直線FG的方程是x=-2，顯然和圓相切．
故直線FG能恒切于一個定圓（x+3）²+y²=1．…14分．

點評：本題考查軌跡方程，考查圓與圓、直線與圓的位置關(guān)系，考查探索性問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．