設(shè)橢圓中心為O，一個(gè)焦點(diǎn)F（0，1），長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度之比為t．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且
|OP|
|OQ|
=t
t2-1
，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P軌跡．
（1）依題意知，c=1，a：b=t，即a=bt
∵a2-b2=1
∴b2=
1
t2-1
，a2=
t
t2-1

故橢圓方程為
y2
t2
t2-1
+
x2
1
t2-1
=1
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q（x1，y1），P（x，y），
則
y=tx
y2
t2
t2-1
+
x2
1
t2-1
=1
，解得
x1=
1
2(t2-1)
y1=
t
2(t2-1)

∵OP||OQ|=|x||x1|=tt2-1
∴
x=
t
2
y=
t2
2
或
x=-
t
2
y=-
t2
2

而t＞1，于是點(diǎn)P的軌跡方程為：
x2=
2
2
y(x＞
2
2
)，x2=-
2
2
y(x＜-
2
2
)，
點(diǎn)P的軌跡為拋物線x2=
2
2
y在直線x=
2
2
右側(cè)的部分和拋物線x2=-
2
2
y在直線x=-
2
2
左側(cè)的部分．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，直線(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0恒過(guò)定點(diǎn)F．設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為2+
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓中心為O，一個(gè)焦點(diǎn)F（0，1），長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度之比為t．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且
|OP|
|OQ|
=t
t2-1
，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A是橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
，點(diǎn)B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點(diǎn)確定的圓C恰好與直線x+
3
y+3=0相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)O為橢圓的中心，過(guò)F點(diǎn)作直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，在橢圓上是否存在點(diǎn)T，使得
OM
+
ON
+
OT
=
0
，如果存在，則求點(diǎn)T的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A是橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
，點(diǎn)B在x軸上，AB⊥AF，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓C恰好與直線x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)F作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，P為線段MN的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓中心，射線OP交橢圓于點(diǎn)Q，若
OM
+
ON
=
OQ
，若存在求k的值，若不存在則說(shuō)明理由．

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