Question

19．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②設(shè)圓C：（x-1）²+y²=1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦OA，則弦OA中點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}$=1有相同的焦點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)為③④．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①利用雙曲線的定義中對(duì)a，c的要求即可判斷．
②由題意，CP⊥OA，弦OA中點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根為：2，$\frac{1}{2}$，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④求出雙曲線的焦點(diǎn)是（±4，0），橢圓的焦點(diǎn)（±4，0），可得結(jié)論．

解答 解：①因?yàn)殡p曲線的定義中要求k＜|AB|，故①不正確；
②由題意，CP⊥OA，∴弦OA中點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，故不正確；
③方程2x²-5x+2=0的兩根為：2，$\frac{1}{2}$，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確；
④∵④中雙曲線的焦點(diǎn)是（±4，0），橢圓的焦點(diǎn)（±4，0），∴④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓，雙曲線的定義，及圓錐曲線的共同特征---離心率，考查了學(xué)生的靈活把握定義及基礎(chǔ)知識(shí)的能了，是個(gè)中檔題．