是否存在銳角α,β,使得下列兩式:①α+2β=
3
;②tan
α
2
?tanβ=2-
3
同時(shí)成立?若存在,求出α和β;若不存在,說明理由?
分析:由條件可得 tan
α
2
=1,tanβ=2-
3
,或tan
α
2
=2-
3
,tanβ=1
,根據(jù)α,β為銳角,求出α,β 的值.
解答:解:由α+2β=
3
得:
α
2
+β=
π
3
,tan(
α
2
+β)=
tan
α
2
+tanβ
1-tan
α
2
tanβ
=
3

將②式代入得:tan
α
2
+tanβ=3-
3
,與②式聯(lián)立,解得:tan
α
2
=1,tanβ=2-
3
,
tan
α
2
=2-
3
,tanβ=1

當(dāng)tan
α
2
=1
時(shí),因?yàn)?span id="um3mkz9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0<
α
2
π
4
,這樣的角α不存在,故只能是tan
α
2
=2-
3
,tanβ=1,
因?yàn)棣,β均為銳角,所以α=
π
6
,β=
π
4

綜上,存在銳角α=
π
6
,β=
π
4
,使得①,②同時(shí)成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查兩角和的正切公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,得到tan
α
2
=1,tanβ=2-
3
,或tan
α
2
=2-
3
,tanβ=1
,是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)是否存在銳角α與β,使得(1)α+2β=
3
,(2)tan
α
2
•tanβ=2-
3
同時(shí)成立.
若存在,求出α和β的值;若不存在,說明理由.
(2)已知tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的兩根,求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

是否存在銳角,使得(1);(2)同時(shí)成立,若存在,求出、的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年陜西省高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

是否存在銳角,使得(1)同時(shí)成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4 3.1兩角和與差的三角函數(shù)練習(xí)卷(一)(解析版) 題型:解答題

是否存在銳角,使得:

(1)     (2)同時(shí)成立?

若存在,求的值;若不存在,說明理由。

 

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同步練習(xí)冊(cè)答案