Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$，其中t為參數(shù)，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，再以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ+2sinθ=ρ，其中ρ≥0，θ∈R，直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值；
（2）已知點(diǎn)A（0，1），且|AP|=2|AQ|，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立l與C的方程得：x²-2tanα•x-2=0，利用向量數(shù)量積公式，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值；
（2）已知點(diǎn)A（0，1），且|AP|=2|AQ|，利用參數(shù)的幾何意義，即可求直線l的普通方程．

解答 解：（1）直線l的普通方程為y=tanα•x+1，曲線C的極坐標(biāo)方程可化為x²=2y，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立l與C的方程得：x²-2tanα•x-2=0，
∴x₁x₂=-2，則${y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{2}\;•\;\frac{x_2^2}{2}=\frac{{{{（{x_1}{x_2}）}^2}}}{4}=1$，
∴$\overrightarrow{OP}\;•\;\overrightarrow{OQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-1$．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的普通方程，
得cos²α•t²-2sinα•t-2=0，
設(shè)交點(diǎn)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=\frac{2sinα}{{{{cos}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=-\frac{2}{{{{cos}^2}α}}$，
由|AP|=2|AQ|得，t₁=-2t₂，
聯(lián)立解得${tan^2}α=\frac{1}{4}$，又$α∈（{0，\;\;\frac{π}{2}}）$，所以$tanα=\frac{1}{2}$．
直線l的普通方程為$y=\frac{1}{2}x+1$．（或x-2y+2=0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．