Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=（sinωx+acosωx）（a∈R，0＜ω≤1）滿足：f（x）=f（-x），f（x-π）=f（x+π）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若m²-4n＞0，m，n∈R，求證：“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在區(qū)間（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”的充分不必要條件．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=（sinωx+acosωx）=sin（ωx+?），其中sin?=，cos?=，
由f（x-π）=f（x+π）知f（x）=f（x+2π），即函數(shù)f（x）的周期為2π．
∴≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ω=1．
又∵f（x）=f（-x），∴f（0）=f（），
即 （sin0+acos0）=（sin+acos），解得 a=，∴f（x）=sin（x+）．
（II）顯然，x∈（-，）等價(jià)于x+∈（-，）．
令u=x+，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，則f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1得|m+n|≤|m|+|n|＜1，∴m+n＞-1．
同理由|m-n|≤|m|+|n|＜1得m-n＜1．
∴g（1）=m+n+1＞0，g（-1）=1-m+n＞0．
又∵|m|≤|m|+|n|＜1，∴-∈（-1，1）．
又∵△=m²-4n＞0，∴一元二次方程t²+mt+n=0在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根．
∵函數(shù)y=sinu（u∈（-，））與u=x+（x∈（-，））都是增函數(shù)，
∴[f（x）]²+mf（x）+n=0在區(qū)間（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
∴“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在區(qū)間（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”的充分條件．
令m=，n=，由于方程t²+t+=0有兩個(gè)不等的實(shí)根-，-，且-，-∈（-1，1），
∴方程sin²（x+）+sin（x+）+=0在（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，
但|m|+|n|=+=1，
故“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在區(qū)間（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要條件．
綜上，“|m|+|n|＜1”是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在區(qū)間（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”的充分不必要條件．
分析：（I）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為Asin（ωx+?），利用f（x-π）=f（x+π），求出函數(shù)的周期，通過周期公式求出ω，通過f（x）=f（-x），令x=0，得到f（0）=f（），求出a，即可求f（x）的解析式；
（II）通過x∈（-，），求出x+∈（-，）．令u=x+，f（x）=t，g（t）=t²+mt+n，則f（x）=sinu，
由|m|+|n|＜1推出-∈（-1，1）．利用△＞0，說明一元二次方程t²+mt+n=0在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根．
結(jié)合函數(shù)y=sinu（u∈（-，））與u=x+（x∈（-，））都是增函數(shù)，推出所證的充分條件．
通過m=，n=，說明“|m|+|n|＜1”不是“方程[f（x）]²+mf（x）+n=0在區(qū)間（-，）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”的必要條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，解析式的求法，以及充分條件與必要條件的證明，方程的根的知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，反例證明問題的應(yīng)用．