Question

已知函數(shù)f（x）=2sin

π

3

sin（x+

π

12

）cos（x+

π

12

）-sin

π

6

cos（2x+

π

6

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）（x＞0）的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得的圖象與直線y=

11

13

交點的橫坐標(biāo)由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求數(shù)列{x_n}的前200項的和．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）先求得平移后函數(shù)的圖象的解析式，進而根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，分別求得x₁+x₂，x₃+x₄，…x₁₉₉+x₂₀₀，等，發(fā)現(xiàn)呈等差數(shù)列排列，進而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得答案．

解答： 解：f（x）=

3

2

sin（2x+

π

6

）-

1

2

cos（2x+

π

6

）=sin（2x+

π

6

-

π

6

）=sin2x，
（1）T=

2π

2

=π，
當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

時，kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z）．
（2）函數(shù)f（x）（x＞0）的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得函數(shù)圖象的解析式為y=sinx，
由正弦函數(shù)的對稱性可知，

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，…

x199+x200

2

=198π+

π

2

，
∴x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀=π+5π+9π+…+（4×100-3）π=

(π+397π)×100

2

=19900π．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．特別是第二問分析出利用等差數(shù)列來解決是關(guān)鍵．