Question

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時．狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）在2020年“五一”勞動節(jié)前，甲，乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，，

①求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②求當(dāng)的數(shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）①見解析；②6

【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣可得二級、一級口罩個數(shù)，然后寫出的所有可得取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得結(jié)果.

（2）①寫出寫出的所有可得取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得結(jié)果.②根據(jù)，使用換元法并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)一步可得取最大值的條件.

（1）按分層抽樣抽取8個口罩，則其中二級、一級口罩個數(shù)分別為6，2．故的可能取值為0，1，2．

，

，

，

的分布列為

	0	1	2

所以．

（2）①由題知的可能取值為0，1，2，

；

；

．

所以的分布列為

	0	1	2

所以

．

②因為，

所以，

令，

設(shè)，

則，

因為，

所以當(dāng)時，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)即時取最大值，

所以．

所以取最大值時，的值為6．