已知直線.若存在實數(shù)使得一條曲線與直線有兩個不同的交點,且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于,則稱此曲線為直線的“絕對曲線”.下面給出四條曲線方程:①;②;③;④;則其中直線的“絕對曲線”有         (       )

A.①④B.②③C.②④D.②③④

D

解析試題分析:由題意直線表示斜率為且過定點(1,1)的直線.(1)曲線①是由左右兩支射線構(gòu)成:時,是斜率為2且過點(1,0)的射線;時,是斜率為-2且過點(1,0)的射線.作圖可知:當,直線僅與曲線①右支射線有一個交點;當時,直線與曲線①無交點;當時,直線僅與曲線①左支射線有一個交點.所以直線與曲線①最多只有一個交點,不符題意,故曲線①不是直線的“絕對曲線”.(2)因為定點(1,1)在曲線②上,所以直線與曲線②恒有交點,設(shè)曲線②與直線的兩交點為,易知 ,聯(lián)立直線與曲線②方程,化簡得:.
.,從而可知當且僅當時直線與曲線②僅一個交點.兩邊平方,化簡得:.設(shè),則,,且是連續(xù)函數(shù),所以在(0,2)上有零點,即方程在(0,2)上有根,且在(0,2)上曲線②與直線有兩個不同的交點.故存在實數(shù)使得曲線②與直線兩個不同交點為端點的線段長度恰好等于,故曲線②是直線的“絕對曲線”.(3)曲線③表示圓心在(1,1)且半徑為1的圓,它與直線兩個交點為端點的線段長度恒為2,為2或-2時滿足題意,故曲線③是直線的“絕對曲線”.(4)因為定點(1,1)在曲線④上,所以直線與曲線④恒有交點,設(shè)曲線④與直線的兩交點為,易知 ,聯(lián)立直線與曲線④方程,化簡得:,
,,從而可知當且僅當時直線與曲線④僅一個交點.兩邊平方,化簡得:.,,,且是連續(xù)函數(shù),所以上有零點,即方程上有根,且在上曲線④與直線有兩個不同的交點.故存在實數(shù)使得曲線④與直線兩個交點為端點的線段長度恰好等于,故曲線④是直線的“絕對曲線”.
考點:曲線與直線的方程、函數(shù)的零點

練習冊系列答案
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A
B. 
C
D

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