在一很大的湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船,由于纜繩突然斷開,小船被風(fēng)刮跑,其方向與湖岸成15°角,速度為2.5 km/h,同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開始追趕小船,已知他在岸上跑的速度為4 km/h,在水中游的速度為2 km/h.問此人能否追上小船?若小船速度改變,則小船能被人追上的最大速度是多少?

思路解析:不妨畫一個(gè)圖形,如圖所示.將文字語言翻譯為圖形語言,進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.設(shè)船速為v,顯然v≥4 km/h時(shí)人不可能追上小船,當(dāng)0≤v≤2 km/h時(shí),人不必在岸上跑,而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船,因此只要考慮2<v<4的情況.由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕,當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí),人才能追上小船.

解:設(shè)船速為v,人追上船所用時(shí)間為t,人在岸上跑的時(shí)間為kt(0<k<1),則人在水中游的時(shí)間為(1-k)t,人要追上小船,則人船運(yùn)動的路線滿足如圖所示的三角形.

∵|OA|=4kt,|AB|=2(1-k)t,|OB|=vt,

由余弦定理得|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos15°,

即4(1-k)2t2=(4kt)2+(vt)2-2·4kt·vt·,

整理得12k2-[2()v-8]k+v2-4=0.

要使上式在(0,1)范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解,則有0<<1且Δ=[2()v-8]2-4·12·(v2-4)≥0.

解得2<v≤2,即vmax=2 km/h.

故當(dāng)船速在(2,2]內(nèi)時(shí),人船運(yùn)動路線可構(gòu)成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度為2 km/h,由此可見當(dāng)船速為2.5 km/h時(shí),人可以追上小船.

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