Question

當(dāng)正三角形的邊長為n（n∈N^*）時(shí)，圖（1）中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f₃（n）=1+2+3+…+（n+1）=

1

2

（n+1）（n+2）；當(dāng)正方形的邊長為n時(shí)，圖（2）中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f₄（n）=（n+1）²；在計(jì)算圖（3）中邊長為n的正五邊形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)f₅（n）時(shí)，觀察圖（4）可得f₅（n）=f₄（n）+f₃（n-1）=（n+1）²+

n(n+1)

2

=

1

2

（n+1）（3n+2）；…．則邊長為n的正k邊形（k≥3，k∈N）中點(diǎn)的個(gè)數(shù)f_k（n）=

 

．

Answer 1

分析：先觀察對邊長為n的正五邊形的“分割”，那么對邊長為n的正六邊形分割時(shí)就又多了一個(gè)點(diǎn)數(shù)為f₃（n-1）的三角形，
依此類推可以推知邊長為n的正k（k≥5，k∈N）邊形就可以分割為一個(gè)點(diǎn)數(shù)為f₄（n）的四邊形和k-4個(gè)點(diǎn)數(shù)為f₃（n-1）的三角形，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系即可得出答案．

解答：解：觀察對邊長為n的正五邊形的“分割”，那么對邊長為n的正六邊形分割時(shí)就又多了一個(gè)點(diǎn)數(shù)為f₃（n-1）的三角形，
依此類推可以推知邊長為n的正k（k≥5，k∈N）邊形就可以分割為一個(gè)點(diǎn)數(shù)為f₄（n）的四邊形和k-4個(gè)點(diǎn)數(shù)為f₃（n-1）的三角形，
即f_k（n）=f₄（n）+（k-4）f₃（n-1），并且這個(gè)規(guī)律對k=3，4也成立，
這樣f_k（n）=f₄（n）+（k-4）f₃（n-1）
=（n+1）²+（k-4）

n(n+1)

2

=

1

2

（n+1）[（k-2）n+2]（k≥3，k∈N）．
故答案為：

1

2

（n+1）[（k-2）n+2]．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、類比思想及割補(bǔ)思想的運(yùn)用，考查類用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．