Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，M，N分別是PB，PC的中點，PA=AB，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面AMN⊥平面PBC；
（3）若AD-AB=1，PD=

5

，∠CDA=45°，求二面角P-AB-N的大小．

Answer 1

分析：（1）由M，N分別是PB，PC的中點，知MN∥BC，由AB⊥AD，AB⊥BC，知BC∥AD，MN∥AD，由此能夠證明MN∥平面PAD．
（2）由PA=AB，M是PB的中點，知AM⊥PB，由PA⊥底面ABCD，知BC⊥PA，由BC⊥AB，知BC⊥平面PAB，由此能夠證明平面AMN⊥平面PBC．
（3）由PA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，知PA⊥AD，由PA=AB，知PA²+AD²=PD²，由PA=AB，PD=

5

，知AB²+AD²=PD²=5，聯(lián)立

AD-AB=1 AB2+AD2=5

，解得

AB=1 AD=2

．方法一（向量法）：以A為坐標原點，分別以直線AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角P-AB-N的大��；方法二（幾何法）由（2）知BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以BC⊥PB，由N是直角三角形Rt△PBC斜邊上的中線，知BN=

1

2

PC．同理AN=

1

2

PC．故AN=BN．由此能求出二面角P-AB-N的大小．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）證明：∵M，N分別是PB，PC的中點，
∴MN是△PBC的中位線，∴MN∥BC，
又∵AB⊥AD，AB⊥BC，
∴BC∥AD，∴MN∥AD，…（1分）
AD?平面PAD，…（2分）MN?平面PAD，…（3分）
∴MN∥平面PAD．…（4分）
（2）∵PA=AB，M是PB的中點，
∴AM⊥PB…（5分）
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，AM?平面PAB，
∴AM⊥BC．…（6分）
PB∩BC=B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AM⊥平面PBC．…（7分）
又AM?平面AMN…（8分）
∴平面AMN⊥平面PBC．…（9分）
（3）∵PA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD，又PA=AB，∴PA²+AD²=PD²，
又PA=AB，PD=

5

，∴AB²+AD²=PD²=5，
聯(lián)立

AD-AB=1 AB2+AD2=5

，解得

AB=1 AD=2

．
過點C作CH⊥AD于H，
在Rt△DHC中，∠CDH=45°，CH=AB=1，
∴DH=1，∴BC=AH=1．…（10分）
方法一（向量法）：以A為坐標原點，分別以直線AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
如圖所示．…（11分）

則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），
P(0，0，1)，N(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

BC

=(1，0，0)，

AN

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

AB

=(0，1，0)．
由（2）知

BC

=(1，0，0)是平面PAB的一個法向量；
設平面NAB的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AN =0 n • AB =0

，即

1 2 x+ 1 2 y+ 1 2 z=0 y=0

，
得

x=-z y=0

．取

n

=(1，0，-1)．…（12分）cos?

BC

，

n

＞=

BC • n

| BC || n |

=

1×1+0×0+0×(-1)

12+02+02 × 12 +02+(-1)2

=

2

2

．…（13分）
結合圖可知，二面角P-AB-N的大小為45°．…（14分）
方法二（幾何法）

由（2）知BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∵N是直角三角形Rt△PBC斜邊上的中線，∴BN=

1

2

PC．
同理AN=

1

2

PC．∴AN=BN．
取AB的中點Q，連AQ，則AB⊥NQ．
連MQ，易知MQ∥PA，
∴MQ⊥AB．MQ?平面PAB，NQ?平面NAB，
∴∠MQN即是二面角P-AB-N的平面角．…（11分）
在Rt△PBC中，PB=

AB2+PA2

=

2

，  ∴PC=

PB2+BC2

=

3

，
∴BN=

3

2

，∴在Rt△BQN中，
NQ=

BN2-BQ2

=

3 4 - 1 4

=

1

2

，
MQ=

1

2

PA=

1

2

，MN=

1

2

BC=

1

2

，…（12分）
∴在△MQN中，MQ²+MN²=NQ²，又有MN=MQ，
∴△MQN是以∠NMQ為直角的等腰直角三角形，
∴∠MQN=45°．…（13分）
∴二面角P-AB-N的大小為45°．…（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、空間向量等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．