Question

三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)面三條對角線AB₁、BC₁、CA₁中，AB₁⊥BC₁．求證：AB₁⊥CA₁．

Answer 1

答案：
解析：

證：方法1：如圖，延長B1C1到D，使C1D＝B1C1．連CD、A1D．因AB1⊥BC1，故AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠B1A1D＝90°，于是DA1⊥平面AA1B1B．故AB1⊥平面A1CD，因此AB1⊥A1C． 　　方法2：如圖，取A1B1、AB的中點D1、P．連CP、C1D1、A1P、D1B，易證C1D1⊥平面AA1B1B．由三垂線定理可得AB1⊥BD1，從而AB1⊥A1D．再由三垂線定理的逆定理即得AB1⊥A1C． 　　說明：證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法： 　　(1)利用線面垂直的定義； 　　(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線； 　　(3)證明直線平行于平面的垂線； 　　(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面．