Question

20．已知函數(shù)f（x）=acosx+b的最小值是-$\frac{1}{2}$，最大值是$\frac{3}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦函數(shù)的有界性，討論a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)y的最大、最小值，列出方程組，求出a，b的值．

解答 解：∵-1≤cosx≤1，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，-a≤acosx≤a，
∴-a+b≤acosx+b≤a+b；
由函數(shù)y=acosx+b的最小值是-$\frac{1}{2}$，最大值是$\frac{3}{2}$，
得$\left\{\begin{array}{l}b-a=-\frac{1}{2}\\ b+a=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a=0時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，a≤acosx≤-a，
∴a+b≤acosx+b≤-a+b，
由函數(shù)y=acosx+b的最大值為1，最小值為-7，
得$\left\{\begin{array}{l}b-a=\frac{3}{2}\\ b+a=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=$\frac{1}{2}$；
綜上，a=1，b=$\frac{1}{2}$，或a=-1，b=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，也考查了方程組的解法與應(yīng)用問(wèn)題以及分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．