Question

首項為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₇=-2，S₅=30．
（1）求a₁及d；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n=

b1+2b2+3b3+…+nbn

n

（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由首項和公差，利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡a₇=-2，S₅=30，得到關于首項和公差的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項和公差的值；
（2）由（1）中求出的首項和公差，寫出等差數(shù)列{a_n}的通項公式，代入已知的等式，得到一個關系式，記作①，當n等于1時，求出b₁，當n大于等于2時，得到另一關系式，記作②，①-②即可求出b_n的通項公式，把n=1代入驗證滿足，所以得到滿足題意的數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）由a₇=-2，S₅=30，又首項為a₁，公差為d，
得到：

a1+6d=-2 5a1+10d=30

，解得：

a1=10 d=-2

；
（2）由（1）求出的a₁=10，d=-2，得到a_n=10-2（n-1）=12-2n，
所以b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=n（12-2n）①，
當n=1時，b₁=10；
當n≥2時，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=（n-1）[12-2（n-1）]②，
①-②得：nb_n=n（12-2n）-（n-1）[12-2（n-1）]=14-4n，
當n=1也成立，
∴b_n=

14

n

-4（n∈N⁺）．

點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡求值，會利用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的通項公式，是一道中檔題．