Question

（本小題12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．a=

3

，b=

2

，1+2cos（B+C）=0．
（1）求角A，B，C；    
（2）求△ABC的面積S．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（1）利用三角形內角和用cosA表示cos（B+C）利用已知等式求得cosA的值，進而求得A；利用正弦定理求得sinB，進而求得B，最后利用三角形內角和求得C．
（2）利用sinC=sin（A+B）利用三角形內角和求得sinC的值，最后根據三角形面積公式求得三角形的面積．

解答： 解∵A+B+C=π，
∴cos（B+C）=-cosA，
∵1+2cos（B+C）=0，
∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，
在△ABC中，由正弦定理知sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
∵a＞b，
∴A＞B，
∴B=

π

4

，C=π-A-B=

5π

12

（2）由（1）知sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

6 + 2

4

∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×

2

×

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，三角函數恒等變換以及誘導公式的應用．