Question

已知傾角為α的直線l：

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

（t為參數）與曲線C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數）相交于不同兩點A，B若|PA|•|PB|=|PO|²，其中P（2，

3

），則直線l的斜率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的參數方程,圓的參數方程

專題：綜合題,坐標系和參數方程

分析：把直線方程和圓的方程聯立，化為關于t的一元二次方程，運用直線參數方程中參數t的幾何意義，結合給出的等式求解直線的傾斜角的正切值，則斜率可求，

解答： 解：曲線C

x=2cosθ y=sinθ

化為：

x2

4

+y²=1，可知曲線C是橢圓曲線．
  設PA=t₁，PB=t₂．
 把直線方程代入橢圓方程可得：（1+3sin²α）t²+（8

3

sinα+4cosα）t+12=0
 可得：|t₁t₂|=|PA|•|PB|=|PO|²=7，根據二次方程根與系數的關系可得

12

1+3sin2α

=7，
 化簡計算可得：sin²α=

5

21

，cos²α=

16

21

，
 tan²α=

5

16

，tanα=±

5

4

 故答案為：±

5

4

點評：本題考查了參數方程化普通方程，考查了直線的斜率、直線與橢圓的位置關系，解答此題的關鍵是靈活運用直線參數方程中參數的幾何意義，是中檔題．