Question

不等式組

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

所確定的平面區(qū)域記為D．若點(diǎn)（x，y）是區(qū)域D上的點(diǎn)．
（1）求2x+y的最大值；
（2）若圓O：x²+y²=r²上的所有點(diǎn)都在區(qū)域D上，求圓O的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域．
（1）設(shè)z=2x+y，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得2x+y的最大值；
（2）把求圓面積的最大值轉(zhuǎn)化為求圓的直徑的最大值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)到直線2x-y-2=0的距離．

解答： 解：由約束條件

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

作差平面區(qū)域D如圖，

（1）聯(lián)立

x-y+2=0 2x-y-2=0

，解得

x=4 y=6

，即C（4，6）
設(shè)z=2x+y，化為直線方程的斜截式為y=-2x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過C時，直線在y軸上的截距最大，z最大，等于2×4+6=14；
（2）要使圓O：x²+y²=r²上的所有點(diǎn)都在區(qū)域D上，則圓的半徑的最大值為O（0，0）到直線2x-y-2=0的距離，等于

|-2|

22+(-1)2

=

2 5

5

．
∴圓O的面積的最大值S=π•(

2 5

5

)2=

4

5

π．

點(diǎn)評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．