Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標軸有三個交點．記過三個交點的圓為圓C.

(1)求實數(shù)b的取值范圍；

(2)求圓C的方程；

(3)圓C是否經(jīng)過定點(與b的取值無關(guān))？證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必過定點(－2，1)

【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個根為b，代入得E＝－b－1，所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圓C必過定點(0，1)，(－2，1)．

證明：將(0，1)代入圓C的方程，得左邊＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右邊＝0，所以圓C必過定點(0，1)；同理可證圓C必過定點(－2，1)．