已知函數(shù)，當時，；當（）時，.

（1）求在[0，1]內(nèi)的值域；

（2）為何值時，不等式在[1，4]上恒成立.

 

【答案】

(1)值域為；(2)當時，不等式在[1，4]上恒成立.

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)題意得到和是函數(shù)的零點且，然后得到解析式。

（2）令

因為上單調(diào)遞減，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。

由題意得和是函數(shù)的零點且，則（此處也可用韋達定理解）解得：

               ------------6分

(1)由圖像知，函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減，所以：當時，，當時，.

在內(nèi)的值域為       --------------- 8分

(2)令

因為上單調(diào)遞減，要使在[1，4]上恒成立，

則需要，即

解得當時，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分

考點：本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關(guān)系，以及二次函數(shù)的 最值問題的運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到和是函數(shù)的零點且，進而求解得到解析式，進一步研究函數(shù)在給定區(qū)間的最值。

 

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省高三高考預測數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當=1時，求在（1，）的切線方程

（Ⅱ）當時，，求實數(shù)的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西南昌10所省高三第二次模擬數(shù)學試卷（五）（解析版） 題型：解答題

理科已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù),都有

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省韶關(guān)市高三下學期第二次調(diào)研考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.

（１）求實數(shù)的值；

（２）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；

（３）已知正數(shù)，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù)，都有.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)，當時，；當（）時，．

（1）求在[0，1]內(nèi)的值域；

（2）為何值時，不等式在[1，4]上恒成立．

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