Question

已知數(shù)列{a_n}中a₂=2且前n項和S_n=（n∈N），
（I）求數(shù)列{a_n}中首項的值；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）若T_n=，數(shù)列{t_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

解：（I）∵，a₂=2，
∴，∴a₁=0．
（II）由（I）可知，，
∴2S_n=na_n，
2S_n-1=（n-1）a_n-1，
兩式相減，2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，
∴2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
∴，n≥3，n∈N^*，
∴，
∴a_n=2（n-1），n≥2．
經(jīng)檢驗，n=1也成立，∴a_n=2（n-1），n∈N^*．
（III）由（II）知，，
∴=3--．
分析：（ I）由，a₂=2，能夠導出數(shù)列{a_n}中首項的值．
（II）由，知2S_n=na_n，2S_n-1=（n-1）a_n-1，由此能導出，從而得到a_n=2（n-1），n∈N^*．
（III）由，知=3--．
點評：本題考查數(shù)列中首項的求法和求解通項公式的方法，培養(yǎng)學生等到差數(shù)列和等比數(shù)列綜合題的解決方法．