Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，判斷并證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）如果對任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)增；
（2），則x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函數(shù)，所以取1時，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．
分析：（1）當(dāng)時，，從而有當(dāng)x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0，故可判斷；
（2），則問題等價于x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函數(shù)，所以取1時，有最小值）所以min （x+1）²=4＞1-a（min （x+1）²是說（x+1）²的最小值），故可解．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷與證明函數(shù)的單調(diào)性，同時考查最值法研究函數(shù)恒成立問題．