Question

已知P、Q是拋物線C：y=x²上兩動(dòng)點(diǎn)，直線l₁、l₂分別是拋物線C在點(diǎn)P、Q處的切線，且l₁⊥l₂，l₁∩l₂=M．
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）直線PQ是否經(jīng)過一定點(diǎn)？試證之；
（3）求△PQM的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，點(diǎn)M是兩切線的交點(diǎn)，故可以求出兩條切線的方程，解出兩切線交點(diǎn)的坐標(biāo)即點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由兩切線垂直，其斜率的乘積為-1，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)斜式寫出過兩點(diǎn)的直線的方程，易得其過定點(diǎn)（0，）；
（3）由題意，可由兩點(diǎn)間距離公式求出線段PQ的參數(shù)表達(dá)式，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)M到直線PQ的參數(shù)表達(dá)式，由面積公式建立面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可得到面積的最值．
解答：解：（1）設(shè)P（x₁，x₁²），Q（x₂，x₂²），（x₁≠x₂），又y'=2x，則：）
又l₁⊥l₂，則4x₁•x₂=-1⇒x₁•x₂=-，∴y_M=-…．（4分）
（2）PQ：y-x₁²=
∴PQ恒過定點(diǎn)（0，）…（8分）
（3）令x₁+x₂=k，則M（），PQ：y=kx+
∴M到PQ的距離d=
又|PQ|=
=
∴S_△PQM=（此時(shí)k=0）…..（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查了切線的求法，恒過定點(diǎn)的問題，求面積的最值等，解題的關(guān)鍵是理解題意，由圓錐曲線中的相關(guān)計(jì)算根據(jù)題設(shè)中的等量關(guān)系建立方程或函數(shù)關(guān)系，本題考查了推理判斷的能力，符號(hào)計(jì)算的能力，是綜合性較強(qiáng)的題