Question

已知非零數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若不等式nT_n＞a•2ⁿ+6n對任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由于a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，可得S_n=2a_n-2，利用n≥2時a_n=S_n-S_n-1可得

an

an-1

=2，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．由于點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（II）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，
∴S_n=2a_n-2，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1．
∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
又由 a₁=S₁=2a₁-2，解得 a₁=2
∴an=2n．
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2•2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．
∵不等式nT_n＞a•2ⁿ+6n對任意的n∈N^*恒成立，即n[（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6]＞a•2ⁿ+6n．
亦即a＜4n²-6n恒成立．
∵f（n）=4n²-6n=4(n-

3

4

)2-

9

4

≥f（1）=-2．
∴a＜-2．
∴a的取值范圍是（-∞，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．