已知向量
m
=（2acosx，sinx），
n
=（cosx，bcosx），f（x）=
m
•
n
-
3
2
，函數(shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為
3
2
，并且過點(diǎn)(
π
4
，
1
2
)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若A是三角形的內(nèi)角，f(
A
2
-
π
6
)=
2
5
5
，求
3sinA-2cosA
sinA+cosA
的值．
分析：（Ⅰ） 由題設(shè)知f(x)=2acos2x+bsinxcosx-
3
2
，由f（0）=
3
2
，得a=
3
2
，f（
π
4
）=
1
2
，得b=1，因而f（x）=
3
cos2x+sinxcosx-
3
2
=sin（2x+
π
3
），由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ） 由A是三角形的內(nèi)角，f(
A
2
-
π
6
)=
2
5
5
，知sinA=
2
5
5
，則當(dāng)A為銳角時(shí)cosA=
5
5
，由此能求出
3sinA-2cosA
sinA+cosA
．當(dāng)A為鈍角時(shí)cosA=-
5
5
，由此能求出
3sinA-2cosA
sinA+cosA
．
解答：解：（Ⅰ）∵向量
m
=（2acosx，sinx），
n
=（cosx，bcosx），
f（x）=
m
•
n
-
3
2
，
∴f(x)=2acos2x+bsinxcosx-
3
2
，
由已知，則f（0）=
3
2
，得a=
3
2
，f（
π
4
）=
1
2
，得b=1，
因而f（x）=
3
cos2x+sinxcosx-
3
2
=sin（2x+
π
3
），
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈Z
得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z，
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z，
得到函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈Z．
（Ⅱ）∵A是三角形的內(nèi)角，f(
A
2
-
π
6
)=
2
5
5
，
∴sinA=
2
5
5
，
則當(dāng)A為銳角時(shí)cosA=
5
5
，
3sinA-2cosA
sinA+cosA
=
3×
2
5
5
-2×
5
5
2
5
5
+
5
5
=
4
3
，
當(dāng)A為鈍角時(shí)cosA=-
5
5
，
3sinA-2cosA
sinA+cosA
=
3×
2
5
5
+2×
5
5
2
5
5
-
5
5
=8．
點(diǎn)評：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)恒等變換的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量
m
=（2b-c，cosC），
n
=（a，cosA），且
m
∥
n
，
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知向量
m
=（c-2b，a），
n
=（cosA，cosC）且
m
⊥
n
．
（1）求角A的大��；
（2）若
AB
•
AC
=4，求邊BC的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinA，cosA），
n
=（
3
，-1），（
m
-
n
）⊥
m
，且A為銳角．
（Ⅰ） 求角A的大�。�
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）當(dāng)
m
∥
n
時(shí)，求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（
m
+
n
）•
m
，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，
3
c=2asin（A+B），對于（2）中的函數(shù)f（x），求f（B+
π
8
）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湛江模擬）已知向量
m
=（x，2），向量
n
=（1，-1），若
m
⊥
n
，則x=
2
2
．

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同步練習(xí)冊答案