Question

設函數f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0）
（1）當a=2時，求h（x）=f（x）+g（x）的最小值；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），在（0，+∞）上有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）證明：

n

k=1

1

k

＞

nln(2e)

2

-

1

2

ln（n!）

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）將a=2帶人，得出h（x），利用求導數判斷單調性，從而求出最小值．
（2）判斷函數h（x）在（0，+∞）上的單調性，有無最值，要是最大值，根據條件需限制它大于0，若是最小值需限制它小于0，從而求出a的取值范圍．
（3）你可以把要證明的不等式展開，只要證明展開后的不等式即可．通過觀察展開后的式子，要用上第一問的結論，這一點很關鍵，用上這個結論，答案很容易解出了．

解答： 解：（1）a=2時，h（x）=lnx+

2

x

，則h′（x）=

x-2

x2

，所以0＜x＜2時，h′（x）＜0；x＞2時，h′（x）＞0；
所以，h（x）的最小值是h（2）=ln2+1．
（2）h（x）=lnx+

a

x

，則h′（x）=

x-a

x2

，所以x∈（0，a）時，h′（x）＜0；x∈（a，+∞）時，h′（x）＞0；
所以，x=a時，h（x）取最小值h（a）=lna+1；
∵h（x）在（0，+∞）有兩個不同的零點，∴l(xiāng)na+1＜0，∴0＜a＜

1

e

．
（3）要證

n

k=1

1

k

＞

nln(2e)

2

-

1

2

ln(n!)；
即證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n(ln2+1)

2

-

1

2

(ln1+ln2+ln3+…+lnn)
由（1）知：x＞0時，lnx+

2

x

≥ln2+1，當且僅當x=2時取“=”．
∴

1

2

lnx+

1

x

≥

ln2+1

2

即：

1

x

≥

ln2+1

2

-

1

2

lnx；
∴1＞

ln2+1

2

-

1

2

ln1

1

2

≥

ln2+1

2

-

1

2

ln2

1

3

＞

ln2+1

2

-

1

2

ln3
…

1

n

＞

ln2+1

2

-

1

2

lnn
以上各式相加得：

n

k=1

1

k

＞

1

2

ln(n!)．

點評：第一二問都用到了求導數的方法，而第二問求a的取值范圍，注意對最值的限制就可以了．最后一問的關鍵就是用上第一問的結論，這需要你的觀察能力．