Question

（2012•濟寧一模）某高中社團進行社會實驗，對[25，55]歲的人群隨機抽取1000人進行了一次是否開通“微博”的調(diào)查，若開通“微博”的為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”．通過調(diào)查得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示，其中在[40，45）歲、[45，50）歲年齡段人數(shù)中，“時尚族”人數(shù)分別占本組人數(shù)的40%、30%．

請完成以下問題：
（I）求[40，45）歲與[45，50）歲年齡段“時尚族”的人數(shù)；
（II）從[40，45）歲和[45，50）歲年齡段的“時尚族”中，采用分層抽樣法抽取9人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達人大賽，其中選取3人作為領(lǐng)隊，已選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[40，45）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頻率直方圖，求出[40，45）歲與[45，50）歲年齡段的人數(shù)，根據(jù)“時尚族”人數(shù)分別占本組人數(shù)的40%、30%，從而求出[40，45）歲與[45，50）歲年齡段“時尚族”的人數(shù)；
（2）因為[40，45）歲年齡段的“時尚族”與[45，50）歲年齡段的“時尚族”的比值為2：1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有6人，[45，50）歲中有3人，隨機變量X服從超幾何分布，X的取值可能為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求出期望即可．

解答：解：（I）[40，45）歲與[45，50）歲年齡段的人數(shù)分別為：
1000×0.03×5=150，1000×0.02×5=100，
∴[40，45）歲與[45，50）歲年齡段“時尚族”的人數(shù)分別為：
150×40%=60，100×30%=30．
（II）因為[40，45）歲與[45，50）歲年齡段的“時尚族”的比值為60：30=2：1，
所以采用分層抽樣法抽取9人，[40，45）歲中有6人，[45，50）歲中有3人．   （6分）
隨機變量X服從超幾何分布．
P（X=0）=

C 0 6 C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（X=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，P（X=3）=

C 3 6 C 0 3

C 3 9

=

1

84

，
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	1 84

（10分）
∴數(shù)學(xué)期望 E（X）=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

1

84

=

37

28

（12分）

點評：本題重點考查頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，同時考查了超幾何分布的概念和計算能力，屬于中檔題．