Question

已知A、B為橢圓

x2

m2

+

25y2

9m2

=1（m＞0）上兩點(diǎn)，F(xiàn)₂為橢圓的右焦點(diǎn)，若|AF₂|+|BF₂|=

8

5

m
（1）求橢圓的離心率e．
（2）若AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為

3

2

，求該橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的方程與性質(zhì)可得：a2=m2，b2=

9

25

m2，即可得到c2=a2-b2=

16

25

m2，再根據(jù)離心率與a，c的關(guān)系求出離心率．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半徑公式有m-ex₁+m-ex₂=

8

5

m，可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

4

m，求出橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-

5

4

m，進(jìn)而結(jié)合求出答案．

解答：解：（1）由橢圓的方程與性質(zhì)可得：a2=m2，b2=

9

25

m2，
所以c2=a2-b2=

16

25

m2，
所以e2=

c2

a2

=

16

25

，
所以e=

4

5

．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵e=

4

5

，
∴由焦半徑公式有m-ex₁+m-ex₂=

8

5

m，
∴x₁+x₂=

1

2

m，即AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

4

m，
又∵橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-

5

4

m，
∴

1

4

m+

5

4

m=

3

2

，即m=1，
∴橢圓方程為x2+

25

9

y2=1．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的方程與性質(zhì)，以及橢圓的第二定義與橢圓的焦半徑公式，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．