Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-2acosx
（1）求函數(shù)的最小值m（a）．
（2）A={x|f(x)＞0，且x∈[0，

π

2

]}，若A≠φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=（cosx-a）²-a²，對(duì)a分a＜-1，-1≤a≤1，a＞1三類討論，即可求得函數(shù)的最小值m（a）；
（2）依題意，可轉(zhuǎn)化為求A={x|f（x）＞0，x∈[0，

π

2

]}=∅中的a的取值范圍，對(duì)應(yīng)即可得到所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²x-2acosx
=（cosx-a）²-a²，
當(dāng)a＜-1時(shí)，cosx=-1，f（x）取得最小值1+2a，即m（a）=1+2a；
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，cosx=a，f（x）取得最小值-a²，即m（a）=-a²；
當(dāng)a＞1時(shí)，cosx=1，f（x）取得最小值1-2a，即m（a）=1-2a；
∴m（a）=

1-2a，a＜-1 -a2，-1≤a≤1 1-2a，a＞1

．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosx≤1，
設(shè)當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）=cos²x-2acosx≤0恒成立?a≥

1

2

cosx（0≤cosx≤1）恒成立，
∴a≥(

1

2

cosx)max=

1

2

，
∵A={x|f（x）＞0，x∈[0，

π

2

]}≠∅，
∴a＜

1

2

．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，突出考查轉(zhuǎn)化思想與恒成立問(wèn)題，屬于難題．