Question

（2013•海淀區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線y=kx交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在直線l：x+y-3=0上存在點(diǎn)P，使得△PAB為等邊三角形，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由題意通過(guò)解直角三角形即可求得a，b值；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，根據(jù)△PAB是等邊三角形容易求得k值；當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立

x2 3 +y2=1 y=kx

可表示出|x₁|，進(jìn)而由弦長(zhǎng)公式表示出|AO|，設(shè)AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，它與直線l：x+y-3=0的交點(diǎn)記為P（x₀，y₀），聯(lián)立

y=-x+3 y=- 1 k x

可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出|PO|，根據(jù)△PAB為等邊三角形可得|PO|=

3

|AO|，由此可解得k值，綜上兩種情況即得答案；

解答：解：（I）因?yàn)闄E圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，
所以a=2cos30°=

3

，b=2sin30°=1，
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
AB的垂直平分線就是y軸，y軸與直線l：x+y-3=0的交點(diǎn)為P（0，3），
又因?yàn)閨AB|=2

3

，|PO|=3，所以∠PAO=60°，
所以△PAB是等邊三角形，所以直線AB的方程為y=0；
當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx（k≠0），
由

x2 3 +y2=1 y=kx

，得（3k²+1）x²=3，
所以|x1|=

3 3k2+1

，則|AO|=

1+k2

3 3k2+1

=

3k2+3 3k2+1

，
設(shè)AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，它與直線l：x+y-3=0的交點(diǎn)記為P（x₀，y₀），
所以

y=-x+3 y=- 1 k x

，解得

x0= 3k k-1 y0= -3 k-1

，則|PO|=

9k2+9 (k-1)2

，
因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，所以應(yīng)有|PO|=

3

|AO|，
代入得到

9k2+9 (k-1)2

=

3

•

3k2+3 3k2+1

，解得k=0（舍），k=-1，
此時(shí)直線AB的方程為y=-x，
綜上，k的值為0或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題及橢圓方程的求解，弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握．