Question

11．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)N（1，t）到準(zhǔn)線的距離是2．
（1）求拋物線的方程；
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率為k₁的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為2，連接AM，BM并延長(zhǎng)交拋物線于C，D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD的斜率為k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線E：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)N（1，t）到準(zhǔn)線的距離是2，可得1+$\frac{p}{2}$=2，求出p，由此能求出拋物線方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，由此利用直線方程結(jié)合已知條件能求出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

解答 解：（1）∵拋物線E：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)N（1，t）到準(zhǔn)線的距離是2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，
∴y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
設(shè)AC所在的直線方程為y=m（x-2），
聯(lián)立y²=4x，得my²-4y-8m=0，
∴y₁y₃=-8，同理，y₂y₄=-8，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{8}{{y}_{1}{y}_{2}}$，
設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-1），
聯(lián)立y²=4x，得k₁y²-4y-4k₁=0，
∴y₁y₂=-4，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{8}{{y}_{1}{y}_{2}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程的合理運(yùn)用．