設(shè)向量
a
=(2cosx,1)
b
=(cosx,
3
sin2x)
,若存在x∈[0,
π
2
]
,使得不等式
a
b
-k≤0
成立,則實數(shù)k的最小值是
3
3
分析:利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式和三角恒等變換,可得
a
b
=2sin(2x+
π
6
)+1,從而得到當(dāng)0≤x≤
π
2
時,
a
b
的取值范圍為[0,3],最后結(jié)合不等式恒成立的條件,即可得到實數(shù)k的最小值.
解答:解:∵
a
=(2cosx,1)
,
b
=(cosx,
3
sin2x)

a
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)+1
x∈[0,
π
2
]
,得2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
]
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1,得0≤2sin(2x+
π
6
)+1≤3
a
b
的取值范圍為[0,3]
∵不等式
a
b
-k≤0
成立,
∴k≥(
a
b
max,得k≥3,k的最小值為3
故答案為:3
點評:本題給出含有向量數(shù)量積的不等式恒成立,求參數(shù)k的最小值.著重以向量的坐標(biāo)運算為載體,考查三角函數(shù)和不等式恒成立的知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•陜西)設(shè)向量
a
=(1.cosθ)與
b
=(-1,2cosθ)垂直,則cos2θ等于 ( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)平面上有兩個向量
a
=(2cosθ,2sinθ),θ∈(0,2π),
b
=(-1,
3
)

(1)求證:向量
a
+
b
a
-
b
的垂直:
(2)當(dāng)向量
3
a
+
b
a
-
3
b
的模相等時,求θ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)向量
a
=(cosωx,2cosωx),
b
=(2cosωx,sinωx)(x∈R,ω>0),已知函數(shù)f(x)=
a
b
+1的最小正周期是
π
2

(1)求ω的值;
(2)求f(x)的最大值,并求出f(x)取得最大值的x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosθ,1),
b
=(sinθ+cosθ,1),- 
π
2
<θ<
π
2

(I)若
a
b
,求θ的值
(II)設(shè)f(θ)=
a
b
,求函數(shù)f(θ)的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosωx,1),
b
=(sinωx+cosωx,-1)
,(ω∈R,ω>0),設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)
,若f(x)的最小正周期為
π
2

(1)求ω的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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