Question

如圖：四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，點P是平面ABCD外一點，且PB=2，在等腰直角三角形PAD中，Q是斜邊AD的中點．
（1）求證：PQ⊥平面ABCD；
（2）求二面角Q-PB-D的大�。�
（3）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定實數t的值，使得PA∥平面MQB．

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，等腰直角三角形PAD中，Q是斜邊AD的中點，由求出PB，QB，PQ值，由勾股定理可得PQ⊥QB，又由PQ⊥AD，由線面垂直的判定定理可得PQ⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標系Q-xyz，求出平面PBD的法向量，及平面PQB的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
（3）連接AC，交QB于O點，連接OM，BM，QM，由線面平行的判定定理可得則需使PA∥OM，由PM=tPC，由平行線分線段成比例定理可得AO=tAC，由底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°可得答案．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=2，
∴QB=

3

又∵三角形PAD為等腰直角三角
∴PQ=1

PQ=1 QB= 3 PB=2

⇒PQ2+QB2=PB2⇒PQ⊥QB，
又PQ⊥AD，AD∩QB=Q
故PQ⊥平面ABCD…（3分）
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴BQ⊥AD如圖所示，建立空間直角坐標系Q-xyz
則B(0，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，1)，Q(0，0，0)
則

PB

=（0，

3

，-1），

PD

=（-1，0，-1）
設

n

=(x，y，z)是平面PBD的法向量，
則

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，
即

3 y-z=0 -x-z=0

令y=1，則

n

=(-

3

，1，

3

)
又∵x軸⊥平面PQB
∴

m

=(1，0，0)是平面PQB的法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m •n

| m |•| n |

=

- 3

7

=-

21

7

∵二面角Q-PB-D是銳角
∴二面角Q-PB-D的大小為arccos

21

7

…（6分）
（3）連接AC，交QB于O點，連接OM，BM，QM
若使得PA∥平面MQB
則需使PA∥OM
∵PM=tPC
∴AO=tAC
在菱形ABCD中，
可得t=

1

3

…．（10分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間線面關系的判定定理，及向量法解二面角問題的方法和步驟，是解答本題的關鍵．