如圖,直線相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2,…,這樣一直作下去,可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2,…,點(diǎn)Pn(n=1,2,…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大。

【答案】分析:(I)由題意及各點(diǎn)的產(chǎn)生情況直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2,…,這樣一直作下去,可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2,…,點(diǎn)Pn(n=1,2,…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn},讀懂它即可得證;
(II)因?yàn)橐阎闹本l1方程且知直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,可以求出點(diǎn)P1,在有(I)的證明結(jié)論可以得到數(shù)列{xn}的遞推關(guān)系利用構(gòu)造法求出其通項(xiàng);
(III)先由題意得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),在有兩點(diǎn)間的距離的公式得2|PPn|2的式子,有式子與4k2|PP1|2+5比較大。
解答:解:(Ⅰ)證明:設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是(xn,yn),由已知條件得
點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是:
由Pn+1在直線l1上,得
所以,即
(Ⅱ)由題設(shè)知,又由(Ⅰ)知,
所以數(shù)列{xn-1}是首項(xiàng)為x1-1,公比為的等比數(shù)列.
從而
(Ⅲ)解:由得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),
所以,
(i)當(dāng)時(shí),4k2|PP1|2+5>1+9=10.
而此時(shí)
(ii)當(dāng)時(shí),4k2|PP1|2+5<1+9=10.
而此時(shí)
點(diǎn)評(píng):此題重點(diǎn)考查了對(duì)于題意的準(zhǔn)確理解,還考查了兩點(diǎn)間的距離公式及構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,此外還考查了比較含字母的式子的大小分類(lèi)討論的思想.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)A.(不等式選做題)若關(guān)于x的不等式|x+3|-|x+2|≥log2a有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是:
 

B.(幾何證明選做題)如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若
PB
PA
=
1
2
,
PC
PD
=
1
3
,則
BC
AD
的值為
 

C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為
x=3+2
2
cosθ
y=-1+2
2
sinθ
(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cosθ-sinθ
,則曲線C上到直線l距離為
2
的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為:
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓C2
x2
a2
y2
b2
=1
的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,|A1B1|=
7
,SB1A1B2A2=2SB1F1B2F2
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線,l是與n垂直相交于點(diǎn)P,與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線|
OP
|=1,是否存在上述直線l使
OA
OB
=0成立?若存在,求出直線l的方程;并說(shuō)出;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答,若兩題都做,則按所做的第一題評(píng)閱計(jì)分.
1(1).(幾何證明選講選做題)如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,
延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P,若
PB
PA
=
1
2
,
PC
PD
=
1
3
,則
BC
AD
的值為
6
6
6
6

(2).(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 極坐標(biāo)系中,A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上
的動(dòng)點(diǎn),B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0的動(dòng)點(diǎn),則|AB|距離的最小值為
4
2
-2
4
2
-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

如圖,直線相交于點(diǎn)P.直線l1x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2,,這樣一直作下去,可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2Q2,,點(diǎn)Pnn=12,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列

)證明;

)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

)比較的大小.

 

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