Question

如圖，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，橢圓的下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，，圓M是以PF₂為直徑的圓．
（1）若圓M過(guò)原點(diǎn)O，求圓M的方程；
（2）當(dāng)圓M的面積為時(shí)，求PA所在直線的方程；
（3）寫出一個(gè)定圓的方程，使得無(wú)論點(diǎn)P在橢圓的什么位置，該定圓總與圓M相切．請(qǐng)寫出你的探究過(guò)程．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一；因?yàn)镻F₂為圓M的直徑，圓M過(guò)原點(diǎn)O，可以判斷OP⊥OF₂，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)镸為PF₂的中點(diǎn)，可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，以及圓的半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
解法二：同解法一，可判斷OP⊥OF₂，則，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，后面同解法一．
（2）根據(jù)圓M的面積為，求出圓半徑r，則|PF₂|=r，據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，就可得到PA所在直線的方程．
（3）兩圓若始終相切，則圓心距等于半徑之和，因?yàn)閳AM的半徑為|MF₂|，所以只需找到一點(diǎn)，是M到這點(diǎn)的距離等于|MF₂|加上一個(gè)定值即可．
解答：解：（1）解法一：因?yàn)閳AM過(guò)原點(diǎn)O，所以O(shè)P⊥OF₂，
所以P是橢圓的端軸頂點(diǎn)，P的坐標(biāo)是（0，1）或（0，-1），
于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，
圓M的方程為或．  
解法二：設(shè)P（x₁，y₁），因?yàn)閳AM過(guò)原點(diǎn)O，所以O(shè)P⊥OF₂，
所以，所以x₁=0，y₁=±1，點(diǎn)P（0，±1）
于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，
圓M的方程為或．   
（2）設(shè)圓M的半徑為r，由題意，，，所以
設(shè)P（x₁，y₁），則．      
聯(lián)立，解得x₁=1（x₁=3舍去），
所以點(diǎn)或．                      
所以或，
所以直線PA的方程為或
注：直線方程也可寫成其他形式，如：與等．
（3）以原點(diǎn)為圓心，為半徑的定圓始終與圓M相內(nèi)切．
定圓的方程為x²+y²=2．                  
探究過(guò)程為：設(shè)圓M的半徑為r，定圓的半徑為R，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183030343190464/SYS201310241830303431904021_DA/25.png">，
所以當(dāng)原點(diǎn)為定圓圓心，半徑時(shí)，定圓始終與圓M相內(nèi)切．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓，圓與圓位置關(guān)系的判斷．