Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，證明{c_n}是等比數(shù)列
（Ⅲ）設(shè)S_n為{a_n}的前n項和，證明++…++≤n-（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）推出b_n的表達(dá)式，分別當(dāng)n=1時，求出a₂=-；當(dāng)n=2時，解出a₃=8；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，利用等比數(shù)列的定義，證明{c_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求出S_2n，a_2n，S_2n-1，a_2n-1，求出+的表達(dá)式，然后求出++…++的表達(dá)式，利用放縮法證明結(jié)果．
解答：（Ⅰ）解：由b_n=，（n∈N^*）可得b_n=
又b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，
當(dāng)n=1時，a₁+2a₂=-1，可得由a₁=2，a₂=-；
當(dāng)n=2時，2a₂+a₃=5可得a₃=8；
（Ⅱ）證明：對任意n∈N^*，
a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①
2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即：c_n=3×2^2n-1，于是
所以{c_n}是等比數(shù)列．
（Ⅲ）證明：
a1=2，由（Ⅱ）知，當(dāng)k∈N^*且k≥2時，
a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+（a₇-a₅）+…+（a_2k-1-a_2k-3）
=2+3（2+2³+2⁵+…+2^2k-3）=2+3×=2^2k-1，
故對任意的k∈N^*，a_2k-1=2^2k-1．
由①得2^2k-1+2a_2k=-2^2k-1+1，所以k∈N^*，
因此，
于是，．
故=
=
所以，對任意的n∈N^*，++…++=（+）+…+（+）
=
=
=n-
≤n-=n-（n∈N^*）
點評：本題考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查計算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力以及分類討論思想．