Question

1．已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-3x+2），g（x）=log₂（2x²-5x+2）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 此題要求的是x的取值范圍，應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面的問題．首先，其為對(duì)數(shù)函數(shù)，應(yīng)先滿足定義域要求；第二，關(guān)于a的取值問題，a值不同會(huì)影響結(jié)果，所以應(yīng)就a的取值分類討論．分幾種情況呢？由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小與底數(shù)有關(guān)系，以須通過討論a與2的關(guān)系，又由題中要求a＞0且a≠1，所以分為四類進(jìn)行討論，然后再考慮真數(shù)之間的關(guān)系，何時(shí)滿足題目要求f（x）＞g（x）．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f_（x）含有待定系數(shù)a，所以對(duì)a值分類討論如下：
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若f（x）＞g（x），由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知當(dāng)真數(shù)在（0，1）上時(shí)不等式成立，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＜1}\\{2{x}^{2}-5x+2＜1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$，

②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）＞g（x），由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知當(dāng)真數(shù)在（1，+∞）上時(shí)不等式成立，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞1}\\{2{x}^{2}-5x+2＞1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；
③當(dāng)a=2時(shí)，若f（x）＞g（x），由同底對(duì)數(shù)的單調(diào)性可知真數(shù)越大函數(shù)值越大，
即滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{{x}^{2}-3x+2＞2{x}^{2}-5x+3}\end{array}\right.$，解得$0＜x＜\frac{1}{2}$；
④當(dāng)a＞2時(shí)，若f（x）＞g（x），由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知真數(shù)在（0，1）上時(shí)不等式成立，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＜1}\\{2{x}^{2}-5x+2＜1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$；
答：x的取值范圍是；①當(dāng)0＜a＜1或a＞2時(shí)，$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$；②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，$x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；③當(dāng)a=2時(shí)，$0＜x＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題目考核的知識(shí)內(nèi)容是對(duì)數(shù)函數(shù)的大小比較，包括了定義域及二次不等式的有關(guān)內(nèi)容；所用的解題方法是分類討論法，因?yàn)槠涞讛?shù)含有字母常量a．易錯(cuò)點(diǎn)是a的分類不全．