Question

在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

，那么在四面體A-BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．

Answer 1

分析：利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類比成三棱錐的三棱垂直，得到類比性質(zhì)
通過作輔助線將空間的證明問題轉(zhuǎn)化為三角形中的性質(zhì)．

解答：解：如圖（1）所示，由射影定理知AD²=BD•DC，AB²=BD•BC，AC²=BC•DC，
∴

1

AD2

=

1

BD•DC

=

BC2

BD•BC•DC•BC

=

BC2

AB2•AC2

．
又BC²=AB²+AC²，
∴

1

AD2

=

AB2+AC2

AB2•AC2

=

1

AB2

+

1

AC2

．
所以

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

．
類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面體A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，
AE⊥平面BCD，則

1

AE2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．
如圖（2），連接BE交CD于F，
連接AF．∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD．
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴

1

AE2

=

1

AB2

+

1

AF2

．
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴

1

AF2

=

1

AC2

+

1

AD2

．
∴

1

AE2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

，故猜想正確．

點評：本題考查利用類比推理得到結(jié)論、證明類比結(jié)論時證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉(zhuǎn)化為類比對象的結(jié)論．