Question

【題目】數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)c＜0時(shí)，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn ，
∴{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列
充分條件
當(dāng){xn}是單調(diào)遞減數(shù)列時(shí)
x1=0＞x2=﹣x21+x1+c
∴c＜0
綜上{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①當(dāng)c=0時(shí)，xn=x1=0，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，不符合題意；
②當(dāng)c＞0時(shí)，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1

0=x1≤xn＜ ， =﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1），
當(dāng)0＜c 時(shí)， xn﹣xn+1+1＞0xn+2﹣xn+1﹣1＜0，xn+2﹣xn+1與xn+1﹣xn同號(hào)，
由x2﹣x1=c＞0xn+1﹣xn＞0xn+1＞xn ．
= ．
當(dāng)c 時(shí)，存在N使xN xN+xN+1＞1xN+2﹣xN+1與xN+1﹣xN異號(hào)，
與數(shù)列{xn}是從遞減數(shù)列矛盾．
所以當(dāng)0＜c 時(shí)，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列
【解析】（Ⅰ）通過(guò)證明必要條件與充分條件，推出{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通過(guò)①當(dāng)c=0時(shí)，②當(dāng)c＞0時(shí)，推出0＜c＜1，當(dāng)c 時(shí)，證明xn+1＞xn ． = ．當(dāng)c 時(shí)，說(shuō)明數(shù)列{xn}是從遞減數(shù)列矛盾．得到0＜c 時(shí)，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．