設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標(biāo)原點），且|PF1|=
3
|PF2|，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
2
+1
2
B、
2
+1
C、
3
+1
2
D、
3
+1
分析：利用向量的加減法可得(
OP
+
OF2
)•(
OP
-
OF2
)=0，故有 OP=OF2=c=OF1，可得PF1⊥PF2，由條件可得∠PF1F2=30°，由sin30°=
1
2
=
PF2 
F1F2
 求出離心率．
解答：解：∵(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0，∴(
OP
+
OF2
)•(
OP
-
OF2
)=0，
∴
OP
2-
OF2
2=0，OP=OF2=c=OF1，∴PF1⊥PF2，
Rt△PF1F2 中，∵|PF1|=
3
|PF2|，∴∠PF1F2=30°．
由雙曲線的定義得   PF1-PF2=2a，∴PF2=
2a
3
-1
，
sin30°=
1
2
=
PF2 
F1F2
=
2a
3
-1
2c
=
a
c(
3
-1)
，∴2a=c（
3
-1），
∴
c
a
=
3
+1，
故選D．
點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，其中，判斷△PF1F2是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，點P在雙曲線上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•寶山區(qū)模擬）雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(2，
3
)到左，右兩焦點距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線上的點，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面積；
（3）過（-2，0）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使OAPB為矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2是雙曲線x2-
y224
=1的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且3|PF1|=4|PF2|，則△PF1F2的面積等于
24
24
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•許昌三模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
3
-y2=1的兩個焦點，P在雙曲線上，當(dāng)△F1PF2的面積為2時，
PF1
•
PF2
的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標(biāo)原點），且tan∠PF2F1=2，則雙曲線的離心率為（　　）

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