Question

已知不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，則不等式cx²+bx+a＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由于不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，可得α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的實數(shù)根，且a＜0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可把不等式cx²+bx+a＜0化為(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0．解出即可．

解答： 解：不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，
則α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的實數(shù)根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
則不等式cx²+bx+a＜0化為

c

a

x2+

b

a

x+1＞0，
∴αβx²-（α+β）x+1＞0．
化為(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0．
∵0＜α＜β，∴

1

α

＞

1

β

．
∴不等式cx²+bx+a＜0的解集為：{x| x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
故答案為：{x| x＞

1

α

或x＜

1

β

}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數(shù)根之間的關(guān)系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．