Question

【題目】已知函數(shù),在時(shí)取得極值.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）在時(shí)取得極值，則，從而可得a值和函數(shù)解析式，求導(dǎo)，解不等式和，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）＝，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性易得g（x）＞0恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論．

(1)f′(x)＝x－，因?yàn)閤＝2是一個(gè)極值點(diǎn)，所以2－＝0.所以a＝4.

此時(shí)f′(x)＝＝＝. 因?yàn)閒(x)的定義域是{x|x>0}，

所以當(dāng)0<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.所以當(dāng)a＝4時(shí)，x＝2是f(x)的極小值點(diǎn)．即增區(qū)間為，減區(qū)間為.

(2)證明：設(shè)g(x)＝x3－x2－lnx，則g′(x)＝2x2－x－，

因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

所以g(x)>g(1)＝>0.所以當(dāng)x>1時(shí)， x2＋lnx<x3.