Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若，則λ₁+λ₂的值為________．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求λ₁和λ₂ 的值．
解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線 m：x=1 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點(diǎn)（-，），AC的斜率為-，
∴中垂線n的方程為 y-=（x+）．
把直線 m和n 的方程聯(lián)立方程組解得△ABC的外心O（1，），
由條件，
得（1，）=λ₁（2，0）+λ₂（-，），=2λ₁-λ₂， λ₂ ），
∴2λ₁-λ₂=1，λ₂=，∴λ₁=，λ₂=，∴λ₁+λ₂ =，
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．