Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算表示出函數(shù)f（x）的解析式，然后再由三角函數(shù)二倍角公式和輔角公式化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據(jù)T=

2π

w

得到答案．
（2）將2x-

π

4

看作一個(gè)整體，使其滿足2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z).求出x的范圍，再由x∈[0，2π]求交集即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=2

a

•

b

+1=2（cosx，sinx）•（-cosx，cosx）+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1
=1-2cos²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x
=

2

sin(2x-

π

4

)
所以f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π.
（Ⅱ）依條件得2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z).
解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

(k∈Z).
又x∈[0，2π]，所以

3π

8

≤x≤

7π

8

，

11π

8

≤x≤

15π

8

.
即當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[

3π

8

，

7π

8

]，[

11π

8

，

15π

8

].

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的基本性質(zhì)．三角函數(shù)和向量的綜合題是高考的熱點(diǎn)，每年必考，要給予重視．